Question

14．如圖，在三棱錐A-BCD中，BC=DC=AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線段AO，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AP=CQ，則三棱錐P-QCO體積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{48}$．

Answer 1

分析 利用等腰三角形的性質(zhì)可得AO⊥BD，再利用面面垂直的性質(zhì)可得AO⊥平面BCD，利用三角形的面積計(jì)算公式可得S_△OCQ=$\frac{1}{2}CO•CQ•sin∠OCQ$，利用V_{三棱錐P-OCQ}=$\frac{1}{3}PO•{S}_{△OCQ}$，及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)AP=x，
∵O為BD中點(diǎn)，AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴AO⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AO⊥平面BCD．
∴PO是三棱錐P-QCO的高．
AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=1．
∴OP=1-x，（0＜x＜1）．
在△BCO中，BC=$\sqrt{2}$，OB=1，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=1，
∠OCB=45°．
∴S_△OCQ=$\frac{1}{2}CO•CQ•sin4{5}^{°}$=$\frac{1}{2}x×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}x$．
∴V_{三棱錐P-OCQ}=$\frac{1}{3}PO•{S}_{△OCQ}$=$\frac{1}{3}×（1-x）×\frac{\sqrt{2}}{4}x$
=$\frac{\sqrt{2}}{12}x（1-x）$$≤\frac{\sqrt{2}}{12}（\frac{x+1-x}{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{48}$．當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴三棱錐P-QCO體積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{48}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{48}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式、三棱錐的體積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．