Question

4．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項之積為T_n，若log₂T_n=n²+n，則$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$的最小值為$\frac{275}{16}$．

Answer 1

分析 log₂T_n=n²+n，可得T_n=${2}^{{n}^{2}+n}$，當(dāng)n≥2時，${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=2²ⁿ．可得$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{12}{{2}^{n}}$，令f（x）=$x+\frac{12}{x}$，（x≥2），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵log₂T_n=n²+n，
∴T_n=${2}^{{n}^{2}+n}$，
∴當(dāng)n≥2時，${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{n}^{2}+n}}{{2}^{（n-1）^{2}+（n-1）}}$=2²ⁿ=4ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{2n}+12}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{12}{{2}^{n}}$，
令f（x）=$x+\frac{12}{x}$，（x≥2），
f′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-12}{{x}^{2}}$，
當(dāng)2≤x≤$\sqrt{12}$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)$\sqrt{12}$≤x時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)n=3時，${2}^{3}+\frac{12}{{2}^{3}}$=$\frac{19}{2}$；當(dāng)n=4時，${2}^{4}+\frac{19}{{2}^{4}}$=$17+\frac{3}{16}$＞$\frac{19}{2}$．
∴則$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$的最小值為$\frac{19}{2}$．
故答案為：$\frac{19}{2}$．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、對數(shù)的運算性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．