Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+2m．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）+1-a＞0（a∈R）的解集；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，分別解不等式即可；
（2）函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，可轉(zhuǎn)化為不等式|x-3|+|x+4|＞2m恒成立，利用不等式的性質(zhì)求出|x-3|+|x+4|的最小值，就可以求出m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由f（x）+1-a＞0得|x-3|+1-a＞0，
即|x-3|＞a-1，
若a-1＜0，即0＜a＜1時(shí)，不等式的解集是R，
若a-1≥0，即a≥1時(shí)，由|x-3|＞a-1得x-3＞a-1或x-3＜-（a-1），
即x＞a+2或x＜4-a．
所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為R；
當(dāng)a≥1時(shí)，不等式的解集為（-∞，4-a）∪（a+2，+∞）．
（2））∵f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+2m，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，
∴f（x）≥g（x）恒成立，
即|x-3|≥-|x+4|+2m恒成立，
即|x-3|+|x+4|≥2m恒成立，
∵|x-3|+|x+4|≥|-4-3|=7，
則2m≤7，則m≤$\frac{7}{2}$．
∴m的取值范圍為：m≤$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，分類討論的方法，以及不等式的性質(zhì)，涉及面較廣，知識(shí)性較強(qiáng)．