Question

10．己知橢圓以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，若短半軸長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)△ABF的周長(zhǎng)最大時(shí)，△ABF的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意知b=$\sqrt{3}$，a=2，c=1；從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）結(jié)合題意作圖，再設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2cosa，$\sqrt{3}$sina）（0＜a＜π），從而可得|BF|=|AF|=2+cosa，|AB|=2$\sqrt{3}$sina，從而利用三角函數(shù)求最值即可．

解答 解：（1）由題意知，b=$\sqrt{3}$，e=$\frac{1}{2}$，
故a=2，c=1；
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）結(jié)合題意作圖如右，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2cosa，$\sqrt{3}$sina）（0＜a＜π），
焦點(diǎn)F（-1，0）對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為x=-4，
又∵e=$\frac{1}{2}$，
∴|BF|=|AF|=$\frac{1}{2}$|AC|=$\frac{1}{2}$（2cosa+4）=2+cosa，
|AB|=2$\sqrt{3}$sina，
∴△ABF的周長(zhǎng)l=|AF|+|BF|+|AB|=4+2cosa+2$\sqrt{3}$sina
=4+4sin（a+$\frac{π}{6}$）；
故當(dāng)sin（a+$\frac{π}{6}$）=1，即a=$\frac{π}{3}$時(shí)，l有最大值；
此時(shí)，A（1，$\frac{3}{2}$），
此時(shí)，△ABF的面積S=2×$\frac{3}{2}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．