Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=1+S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₁=a₁，公差為$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．當(dāng)n≥3時(shí)，比較b_n+1與1+b₁+b₂+…+b_n的大�。�

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=1+S_n（n∈N^*），當(dāng)n≥2時(shí)可得a_n+1=2a_n，當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，利用等比數(shù)列即可得出；
（II）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：b_n=2n-1．當(dāng)n≥3時(shí)，b_n+1=2n+1.1+b₁+b₂+…+b_n=n²+1．通過(guò)作差即可比較出大小．

解答 解：（I）∵a_n+1=1+S_n（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=1+S_n-1，
∴a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=1+a₁=2，∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
綜上可得：a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（II）數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₁=a₁=1，公差為$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
當(dāng)n≥3時(shí)，b_n+1=2n+1．
1+b₁+b₂+…+b_n=1+$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²+1．
∴n²+1-（2n+1）=n（n-2）＞0，
∴b_n+1＜1+b₁+b₂+…+b_n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“作差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．