Question

8．橢圓W的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且過點(diǎn)$（0，\sqrt{3}）$，其右焦點(diǎn)為F（1，0）．過原點(diǎn)O作直線l₁交橢圓W于A，B兩點(diǎn)，過F作直線l₂交橢圓W于C，D兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$．
（Ⅰ）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：|AB|²=4|CD|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，a＞b＞0．利用真假求解即可．
（Ⅱ）當(dāng)直線l₁垂直于x軸時，推出|AB|²=4|CD|．
當(dāng)直線l₁不垂直于x軸時，設(shè)直線l₁的斜率為k，則依題意l₂的斜率也為k，其方程為y=k（x-1）．設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．求出${|{AB}|^2}=4（{x_0^2+y_0^2}）$．把y=k（x-1）代入橢圓方程中，整理得，通過判別式，韋達(dá)定理以及弦長公式，證明|AB|²=4|CD|．

解答 （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）因?yàn)橐阎�焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，a＞b＞0．
由題意：$b=\sqrt{3}，c=1$，則a²=4．
所求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l₁垂直于x軸時，則直線l₂也垂直于x軸，把x=1代入橢圓W的方程，得$y=±\frac{3}{2}$，即此時|CD|=3，而$|{AB}|=2\sqrt{3}$，所以|AB|²=4|CD|．
當(dāng)直線l₁不垂直于x軸時，設(shè)直線l₁的斜率為k，則依題意l₂的斜率也為k，其方程為y=k（x-1）．設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
則${|{AB}|^2}=4（{x_0^2+y_0^2}）$．
把y=k（x-1）代入橢圓方程中，整理得，（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
顯然△＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．
則$|{CD}|=\sqrt{（{x_1}-{x_2}{）^2}+（{y_1}-{y_2}{）^2}}=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\sqrt{1+{k^2}}$$\sqrt{（{x_1}+{x_2}{）^2}-4{x_1}{x_2}}$．
即|CD|=$\sqrt{1+{k^2}}$$\sqrt{\frac{{144（{k^2}+1）}}{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}}$=$\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}$．
由${|{AB}|^2}=4（{x_0^2+y_0^2}）$，且A（x₀，y₀）在橢圓上，
得${|{AB}|^2}=4[{{x_0}^2+3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）}]=4（\frac{{{x_0}^2}}{4}+3）$．
則|AB|²（4k²+3）=$4{k^2}x_0^2+3x_0^2+48{k^2}+36$．
因?yàn)橹本�l₁過原點(diǎn)，所以y₀=kx₀，則|AB|²（4k²+3）=$4y_0^2+3x_0^2+48{k^2}+36$．
因?yàn)锳（x₀，y₀）在橢圓上，所以$3x_0^2+4y_0^2=12$，所以|AB|²（4k²+3）=48（k²+1）．
所以|AB|²（4k²+3）=4×12（k²+1），即|AB|²=4|CD|．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．