Question

20．已知a、b是異面直線，M為空間一點(diǎn)，M∉a，M∉b．給出下列命題：
①存在一個(gè)平面α，使得b?α，a∥α；
②存在一個(gè)平面α，使得b?α，a⊥α；
③存在一條直線l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；
④存在一條直線l，使得M∈l，l與a、b都相交．
其中真命題的序號(hào)是①③．（請(qǐng)將真命題的序號(hào)全部寫(xiě)上）

Answer 1

分析 利用空間中線線、線面、面面間的關(guān)系求解．

解答 解：a、b是異面直線，M為空間一點(diǎn)，M∉a，M∉b，知：
①由唯一性定理得存在一個(gè)平面α，使得b?α，a∥α，故①正確；
②過(guò)b上一點(diǎn)作a的平行線a′，b和a′確定一個(gè)平面α，使得b?α，a∥α，故②錯(cuò)誤；
③由兩條異面直線有且只有一條公垂直線得存在一條直線l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b，故③正確；
④點(diǎn)M分別與兩直線a，b構(gòu)成的兩個(gè)平面的交線l，使得M∈l，但l與a、b不一定都相交，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是直線的三種位置關(guān)系和線面平行的定義，主要根據(jù)具體的位置關(guān)系和題意判斷，考查了空間想象能力，是中檔題．