Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上頂點(diǎn)為B（0，1）．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l與此橢圓交于M，W兩點(diǎn)，且線(xiàn)段MW的中點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$），求弦MW的長(zhǎng)；
（Ⅲ）是否存在直線(xiàn)l與此橢圓交于M，W兩點(diǎn)，使得△BMW的垂心為橢圓的右焦點(diǎn)F，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上頂點(diǎn)為B（0，1），求出a，b，可得橢圓的方程；
（II）利用點(diǎn)差法，求出AB的斜率，可得直線(xiàn)AB的方程，代入橢圓方程，即可求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．
（III）假設(shè)存在直線(xiàn)l與此橢圓交于M，W兩點(diǎn)，使得△BMW的垂心為橢圓的右焦點(diǎn)F．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由B（0，1），F(xiàn)（1，0），k_BF=-1．由BF⊥MN，知k_MN=1．設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系，再利用$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{FN}$=0即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上頂點(diǎn)為B（0，1）．
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1．
又a²-c²=b²，從而a=$\sqrt{2}$，c=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1． 
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
兩式相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵線(xiàn)段MW的中點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$），∴2（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0，
∴直線(xiàn)MN的斜率為-1，
∴直線(xiàn)MN的方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），即2x+2y-3=0，
與橢圓方程聯(lián)立可得3x²-6x-2.5=0，
∴|MN|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{4+4×\frac{2.5}{3}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{3}$．
（Ⅲ）假設(shè)存在直線(xiàn)l與此橢圓交于M，W兩點(diǎn)，使得△BMW的垂心為橢圓的右焦點(diǎn)F．
∵B（0，1），F(xiàn)（1，0），∴k_BF=-1．
由BF⊥MN，知k_MN=1．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m，
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
由題意，有$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{FN}$=0．
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，即x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
于是2•$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$₂+（-$\frac{4m}{3}$）（m-1）+m²-m=0．
解得m=-$\frac{4}{3}$或m=1．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=1時(shí)，△PQN不存在，故舍去m=1．
當(dāng)m=-$\frac{4}{3}$時(shí)，所求直線(xiàn)l存在，且直線(xiàn)l的方程為y=x-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、三角形垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．