Question

11．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=4x，且f（0）=1．
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^f（x）的單調(diào)增區(qū)間和值域．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求二次函數(shù)f（x）的解析式．
（2）利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合一元二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．…（1分）
∵f（0）=1，∴c=1．把f（x）的表達(dá)式代入f（x+1）-f（x）=4x，有
a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=4x．…（3分）
∴2ax+a+b=4x．∴a=2，b=-2．…（5分）
∴f（x）=2x²-2x+1．…（6分）
（2）g（x）=（$\frac{1}{2}$）^f（x）=$（\frac{1}{2}）^{2{x}^{2}-2x+1}$，
令t=2x²-2x+1，則t=2x²-2x+1=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$…（8分）
此時y=（$\frac{1}{2}$）^t為減函數(shù)，
當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時，函數(shù)t=2x²-2x+1為增函數(shù)，此時g（x）為減函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$]，
當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時，函數(shù)t=2x²-2x+1為減函數(shù)，此時g（x）為增函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，+∞），
∵t=2x²-2x+1=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
∴0＜（$\frac{1}{2}$）^t≤=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次函數(shù)解析式的求解，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解和判斷，利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．