Question

8．如圖所示，AO⊥平面BOC，∠OAB=30°，△AOC與△AOB全等，且二面角B-AO-C是直二面角，動點P在線段AB上，則CP與平面AOB所成角的正切的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由CO⊥平面AOB，得∠CPO是CP與平面AOB所成的角，當OP最小時，tan∠CPO最大，由此能求出CP與平面AOB所成角的正切值的最大值．

解答 解：∵AO⊥平面BOC，∠OAB=30°，△AOC與△AOB全等，且二面角B-AO-C是直二面角，
∴∠BOC=90°，
則CO⊥平面AOB，
連接CP，OP，
則∠CPO是CP與平面AOB所成的角，
設(shè)OB=OC=1，則AB=2，OA=$\sqrt{3}$，
且tan∠CPO=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{OP}$，
∴當OP最小時，tan∠CPO最大，
即OP⊥AB，∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}×1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tan∠CPO=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{OP}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即tan$∠CDO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CP與平面AOB所成角的正切值的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查線面角的正切值的最大值的求法，根據(jù)定義作出線面角，利用三角形的邊角關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．