Question

19．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點M（p，0），傾斜角為45°的直線與拋物線交于A、B兩點，若|AF|+|BF|=10，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（　�。�

• A． x+1=0
• B． 2x+1=0
• C． 2x+3=0
• D． 4x+3=0

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求得直線AB的方程，代入拋物線的方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用判別式大于0，韋達(dá)定理，再由拋物線的定義，將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，解方程可得p=2，進(jìn)而得到拋物線的準(zhǔn)線方程．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
過點M（p，0），傾斜角為45°的直線設(shè)為y=x-p，
代入拋物線的方程，可得x²-4px+p²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有△=16p²-4p²=12p²＞0，
x₁+x₂=4p，
由拋物線的定義可得，|AF|+|BF|=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）=10，
即為x₁+x₂+p=4p+p=10，解得p=2，
則拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，即x+1=0．
故選：A．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要是定義法的運用，同時考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，考查運算能力，屬于中檔題．