Question

9．已知M⊆{1，2，3，4，5}，若M中所有元素之和稱為M的“容量”（規(guī)定空集容量為0），若M的容量為奇（偶）數(shù)，則稱M為奇（偶）子集．求證：
（1）M的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等：
（2）奇子集與偶子集容量相等．

Answer 1

分析 ①設(shè)S為M的奇子集，根據(jù)奇子集和偶子集的定義，得到奇子集和偶子集之間的關(guān)系，分析即可證得結(jié)論；
②求得奇子集的容量之和，從而得到偶子集的容量之和，即可得到結(jié)論．

解答 解：①設(shè)S為M的奇子集，令T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一對應(yīng)，而且每個(gè)偶子集T，均恰有一個(gè)奇子集與之對應(yīng)，故T的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，正確；
②對任一i（1≤i≤5），含i的子集共有2⁴個(gè)，M的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等可知，
在i≠1時(shí)，這2⁴個(gè)子集中有一半是奇子集，
在i=1時(shí)，同樣可得其中有一半是奇子集，
于是在計(jì)算奇子集容量之和時(shí)，奇子集容量之和是$\sum_{i=1}^{5}$2³i=120，
根據(jù)上面所說，這也是偶子集的容量之和，兩者相等，
故M的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

點(diǎn)評 本題考查集合的子集，是新定義的題型，關(guān)鍵是正確理解奇、偶子集與容量的概念．在解答過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了新定義問題的規(guī)律、列舉的方法還有問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．屬于難題．