Question

13．如圖，設(shè)拋物線y²=4x的焦點為F，過點（-2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線分別與AB，x軸交于P，Q兩點．若P，Q，F(xiàn)，B四點共圓，則該圓的半徑是$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

Answer 1

分析 先求出B的坐標(biāo)，可得AB的方程，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)，可得PQ的方程，Q的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，BF⊥x軸，∴B（1，2）
∴k_AB=$\frac{2-0}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，
∴AB的方程為y=$\frac{2}{3}$（x+2），
代入y²=4x，可得x²-5x+4=0，∴x=1或4，
∴P（$\frac{5}{2}$，3），
∴PQ的方程為y-3=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{5}{2}$），
令y=0，可得Q（$\frac{9}{2}$，0），
∴|BQ|=$\sqrt{（\frac{9}{2}-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
∴圓的半徑是$\frac{\sqrt{65}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

點評 本題考查P，Q，F(xiàn)，B四點共圓，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．