Question

8．在△ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得a²=b²+c²+bc，再由余弦定理得A=120°；
（Ⅱ）由余弦定理可得（b+c）²-bc=4，令b+c=t，bc=t²-4（t＞2），用均值不等式可得t的范圍，進(jìn)而得到周長的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
即a²=b²+c²+bc，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
故cosA=-$\frac{1}{2}$，由0°＜A＜180°，可得A=120°；
（Ⅱ）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc
=（b+c）²-bc=4，
令b+c=t，bc=t²-4（t＞2），由基本不等式可得t²≥4（t²-4），
解得2＜t≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則△ABC周長的取值范圍為（4，2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．

點評 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．在解三角形問題中一般借助正弦定理和余弦定理邊化角，角化邊達(dá)到解題的目的，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題．