Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）
（Ⅰ）把f（x）解析式化為f（x）=Asin（ωx+φ）+b的形式，并用五點(diǎn)法作出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖；
（Ⅱ）計(jì)算f（1）+f（2）+…+f（2016）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式和誘導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)解析式先求出周期，再求出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值的和，進(jìn)而判斷出2012與周期的關(guān)系，再求出式子和的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）=1-cos（\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}）=1+sin\frac{π}{2}x$．…4 分
列表得：

x	0	1	2	3	4
$\frac{π}{2}x$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
$y=1+sin\frac{π}{2}x$	1	2	1	0	1

描點(diǎn)畫(huà)圖，如下所示

…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．…（8分）
而y=f（x）的周期為4，
2016=4×504，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=4×504=2016．…10 分

點(diǎn)評(píng) 本題是關(guān)于三角函數(shù)的綜合題，涉及了倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，“五點(diǎn)作圖法”的步驟，函數(shù)周期性的應(yīng)用求式子的值，考查了分析、解決問(wèn)題能力和作圖能力．