Question

3．設(shè)k，m，n都是整數(shù)，過圓x²+y²=（3k+1）²外一點(diǎn)P（m³-m，n³-n）向該圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB上滿足橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有0個(gè)．

Answer 1

分析 由P和原點(diǎn)O的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，得到以O(shè)P為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，寫出以O(shè)P為直徑的圓的方程，記作（1），把已知圓x²+y²=（3k+1）²代入（1），得到過AB的方程（2），通過左右兩邊分析，若有整點(diǎn)則左邊為3的倍數(shù)，右邊不為3的倍數(shù)，即可得到答案．

解答 解：∵P（m³-m，n³-n），O（0，0），
∴線段OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$（m³-m），$\frac{1}{2}$（n³-n）），
∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為：[x-$\frac{1}{2}$（m³-m）]²+[y-$\frac{1}{2}$（n³-n）]²=$\frac{1}{4}$（m³-m）²+$\frac{1}{4}$（n³-n）²，（1）
將x²+y²=（3k+1）²代入（1）得：（m³-m）x+（n³-n）y=（3k+1）²，（2）它就是過兩切點(diǎn)的直線方程，
由m³-m=m（m-1）（m+1），得到它為三個(gè)連續(xù)數(shù)的乘積，顯然能被3整除，
同理，n³-n亦能被3整除，
假設(shè)x，y均為整數(shù)，則（2）的左邊能被3整除．
而（3k+1）²不能被3整除，矛盾．
過這兩切點(diǎn)的直線上的任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)不可能均為整數(shù)．
故答案為：0．

點(diǎn)評 此題考查了圓的切線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)題意表示出過圓x²+y²=（3k+1）²外一點(diǎn)P（m³-m，n³-n）向圓引兩條切線方程是解本題的關(guān)鍵．