Question

1．設集合M是實數(shù)集R的一個子集，如果點x₀∈R滿足：對任意?＞0，都存在x∈M，使得0＜|x-x₀|＜?，稱x₀為集合M的一個“聚點”．若由集合：
①有理數(shù)集；
②無理數(shù)集；
③{sin$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}；
④{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}
其中以0為“聚點”的集合是①②③．（寫出所有符合題意的結(jié)論序號）

Answer 1

分析 根據(jù)聚點的定義分別進行判斷即可．

解答 解：①定義[x]為不大于x的最大整數(shù)，
則對任意?＞0，$\frac{1}{?}$＜[$\frac{1}{?}$]+2，則$\frac{1}{?}$＞$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$，
取有理數(shù)x=$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$即可得，0＜|$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$-0|＜?，故0為有理數(shù)集的“聚點”；
②對任意的?＞0，都存在x=$\frac{?}{2}$，使得0＜|x|＜?
∴0是無理數(shù)集的聚點；
③∵sinx＜x，x∈（0，1），
∴對任意?＞0，0＜|sin?|＜?，
∴0為集合{sin$\frac{π}{n+1}$||n∈N^*}的“聚點”；
④∵$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜…＜$\frac{n}{n+1}$，
∴0不是集合{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}的“聚點”，
故答案為：①②③．

點評 本題考查的知識點是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解集合的聚點的含義，是解答本題的關鍵．