Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+1，1≤λ≤$\frac{3}{2}$，試求g（x）=f[f（x）]-2λf（x）在[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，令t=x²（0≤t≤1），則y=（t+1-λ）²+1-λ²，求得對稱軸方程及范圍，考慮兩端點的函數(shù)值的大小，即可得到最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+1，1≤λ≤$\frac{3}{2}$，
g（x）=f[f（x）]-2λf（x）=x⁴+2（1-λ）x²+2-2λ
=（x²+1-λ）²+1-λ²，
令t=x²（0≤t≤1），則y=（t+1-λ）²+1-λ²，
對稱軸t=λ-1∈[0，$\frac{1}{2}$]，
當t=λ-1時，取得最小值，且為1-λ²；
t=0時，y=2-2λ；t=1時，y=4-4λ．
由2-2λ-（4-4λ）=2λ-2∈[0，1]，
則t=0時，取得最大值，且為2-2λ．
綜上可得x=0時，取得最大值2-2λ，
當x=±$\sqrt{λ-1}$時，取得最小值1-λ²．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查換元法和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．