Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），f（0）=1；分類討論確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x²+1，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），f（0）=1；
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²+1有兩個(gè)零點(diǎn)，不成立；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ax³-3x²+1在（-∞，0）上有零點(diǎn)，故不成立；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax³-3x²+1在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
故f（x）=ax³-3x²+1在（-∞，0）上沒有零點(diǎn)；
而當(dāng)x=$\frac{2}{a}$時(shí)，f（x）=ax³-3x²+1在（-∞，0）上取得最小值；
故f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{8}{{a}^{2}}$-3•$\frac{4}{{a}^{2}}$+1＞0；
故a＜-2；
綜上所述，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．