Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-1|，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1（f（x））（n＞1，n∈N^*），令函數(shù)F（x）=f_n（x）-m，若m∈（0，1）時(shí)，函數(shù)F（x）有且只有8各不同的零點(diǎn)，這8個(gè)零點(diǎn)按從小到大的順序分別記為x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇、x₈，則x₁x₂x₅x₆+x₃x₄x₇x₈的取值范圍是（-6，16）．

Answer 1

分析 由題意作函數(shù)f_n（x）的圖象，再設(shè)x₄=x，x∈（0，1）；從而可得x₃=-x，x₂=x-2，x₁=-x-2，x₅=-x+2，x₆=x+2，x₇=-x+4，x₈=x+4；從而化簡即可．

解答 解：由題意，作f_n（x）的圖象如下，

結(jié)合圖象可得，
設(shè)x₄=x，x∈（0，1）；則x₃=-x，x₂=x-2，x₁=-x-2，
x₅=-x+2，x₆=x+2，x₇=-x+4，x₈=x+4；
故x₁x₂x₅x₆+x₃x₄x₇x₈=（-x-2）（x-2）（-x+2）（x+2）+（-x）x（-x+4）（x+4）
=（4-x²）²-x²（16-x²）=2（x²）²-24x²+16=2（x²-6）²-56
∵x∈（0，1），
∴x²-6∈（-6，-5），
∴50＜2（x²-6）²＜72，
∴-6＜2（x²-6）²-56＜16，
故x₁x₂x₅x₆+x₃x₄x₇x₈的取值范圍是（-6，16）；
故答案為：（-6，16）．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．