Question

8．如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負(fù)荷與它的厚度d的平方和寬度a的乘積成正比，與它的長度l的平方成反比．

（Ⅰ）在a＞d＞0的條件下，將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋�，枕木的安全�?fù)荷會(huì)發(fā)生變化嗎？變大還是變�。�
（Ⅱ）現(xiàn)有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R=$\sqrt{3}$）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度l，問橫截面如何截取，可使安全負(fù)荷最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)安全負(fù)荷為${y_1}=k\frac{{a{d^2}}}{l^2}（k＞0）$，求出翻轉(zhuǎn)90°后的表達(dá)式，然后求解比值的最大值．
（Ⅱ）設(shè)截取的寬為a（0＜a＜2$\sqrt{3}$），高為d，$（\frac{a}{2}{）^2}+{d^2}={（\sqrt{3}）^2}$，得到安全負(fù)荷為$y=f（a）=\frac{k}{l^2}a{d^2}$
令$g（a）=a{d^2}=a（3-\frac{a^2}{4}）$，$a∈（{0，2\sqrt{3}}）$利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)安全負(fù)荷為${y_1}=k\frac{{a{d^2}}}{l^2}（k＞0）$，…（1分）
翻轉(zhuǎn)90°后${y_2}=k\frac{{d{a^2}}}{l^2}（k＞0）$，…（2分）
可得：$\frac{y_1}{y_2}=\fracraskxzl{a}$，…（3分）
當(dāng)a＞d＞0時(shí)，$\frac{y_1}{y_2}=\fracs6aiu6w{a}$＜1
此時(shí)枕木的安全負(fù)荷變大．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)截取的寬為a（0＜a＜2$\sqrt{3}$），高為d，$（\frac{a}{2}{）^2}+{d^2}={（\sqrt{3}）^2}$，∴a²+d²=12
…（6分）
其長度l及k為定值，安全負(fù)荷為$y=f（a）=\frac{k}{l^2}a{d^2}$
令$g（a）=a{d^2}=a（3-\frac{a^2}{4}）$，$a∈（{0，2\sqrt{3}}）$…（8分）
此時(shí)$g'（a）=-\frac{3}{4}{a^2}+3，由g'（a）=0，得a=2$…（9分）
由g′（a）＜0，可得$2＜a＜2\sqrt{3}$，
∴$g（a）在（{0，2}）遞增，在（{2，2\sqrt{3}}）遞減$…（11分）
所以當(dāng)寬a=2時(shí)，g（a）取得取大值，此時(shí)高$d=\sqrt{2}$，
所以，當(dāng)寬a=2，高$d=\sqrt{2}$時(shí)，安全負(fù)荷最大…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題可拆式的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，實(shí)際問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．