Question

14．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$．直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) P．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求線段AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，展開(kāi)化為：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²-t-1=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，展開(kāi)化為：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），化為：x²+y²=2x+2y．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²-t-1=0，
∴t₁+t₂=1，t₁t₂=-1．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{1-4×（-1）}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．