Question

5．如圖⊙O是Rt△ABC的外接圓，E、F是AB，BC上的點，且A，E，F(xiàn)，C四點共圓，延長BC至D，使得AC•BF=AD•BE．
（1）證明：DA是⊙O的切線；
（2）若AF•AB=1：$\sqrt{2}$，試求過點A、E、F、C的圓的面積與⊙O的面積之比．

Answer 1

分析 （1）證明：∠ACD=∠BEF，∠DAC=∠FBE，進(jìn)而證明∠DAB=90°，即可證明DA是⊙O的切線；
（2）由（1）知AF為過A，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑，利用AF：AB=1：$\sqrt{2}$，即可求過點A、E、F、C的圓的面積與⊙O的面積之比．

解答 （1）證明：由題意知∠ACD=90°，
∵A，E，F(xiàn)，C四點共圓，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF．
又∵AC•BF=AD•BE，∴△ADC∽△BFE．
∴∠DAC=∠FBE．
∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，
即∠DAB=90°，∴DA是⊙O的切線．…（5分）
（2）解：由（1）知AF為過A，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑，
∵AF：AB=1：$\sqrt{2}$．∴AF²：AB²=1：2．
即過點A，E，F(xiàn)，C的圓的面積與⊙O的面積之比為1：2．…（10分）

點評 本題考查圓的切線的證明，考查四點共圓，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．