Question

9．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于3？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)，利用橢圓定義及性質(zhì)列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=$\frac{3}{2}x+t$，與橢圓聯(lián)立得到3x²+3tx+t²-12=0，由此利用根的判別式、點(diǎn)到直線距離公式能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵點(diǎn)F（2，0）為橢圓C的右焦點(diǎn)，∴左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{2a=|AF|+|A{F}_{1}|=3+5=8}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，
又a²=b²+c²，所以b²=12，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=$\frac{3}{2}x+t$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，解得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，
解得-4$\sqrt{3}$$≤t≤4\sqrt{3}$，
另一方面，由直線OA與l的距離d=3，得$\frac{|t|}{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}$=3，
解得t=±$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
∵$±\frac{\sqrt{39}}{2}$∈[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]，
∴符合題意的直線l為y=$\frac{3}{2}x±\frac{\sqrt{39}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查符合條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．