Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過橢圓C的左焦點F作兩條互相垂直的動弦AB與CD，記由A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形的面積為S，求S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)a＞b和a＜b兩種情況，由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）取橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，當(dāng)兩條弦中有一條的斜率不存在時，則另一條的斜率為0，此時由A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形的面積S=$\frac{1}{2}$•|AB|•|AC|=2；當(dāng)兩弦的斜率均存在時，令直線AB的方程為：y=k（x+1），則直線CD的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），利用韋達(dá)定理、弦長公式，能求出S的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）①當(dāng)a＞b時，∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴由題意$\frac{（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{^{2}}$=1，且e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
②當(dāng)a＜b時，∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴由題意$\frac{（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{^{2}}$=1，且e=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得${a}^{2}=\frac{7}{8}$，b²=$\frac{7}{4}$，
∴橢圓方程為$\frac{8{x}^{2}}{7}+\frac{4{y}^{2}}{7}$=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1或$\frac{8{x}^{2}}{7}+\frac{4{y}^{2}}{7}$=1．
（Ⅱ）∵過橢圓C的左焦點F作兩條互相垂直的動弦AB與CD，∴取橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
①當(dāng)兩條弦中有一條的斜率不存在時，則另一條的斜率為0，
∴由A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形的面積：
S=$\frac{1}{2}$•|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2．
②當(dāng)兩弦的斜率均存在時，可知均不為0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
令直線AB的方程為：y=k（x+1），則直線CD的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴|AB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{{k}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{1+2{k}^{2}}$，
同理，|CD|=$\frac{2\sqrt{2}（\frac{1}{{k}^{2}}+1）}{1+\frac{2}{{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+2}$=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{2{k}^{4}+2+5{k}^{2}}$
=$\frac{4（k+\frac{1}{k}）}{2（k+\frac{1}{k}）^{2}+1}$=2-$\frac{2}{2（k+\frac{1}{k}）^{2}+1}$，
∵2（k+$\frac{1}{k}$）²+1≥2（2$\sqrt{k•\frac{1}{k}}$）²+1≥2（2$\sqrt{k•\frac{1}{k}}$）²+1=9，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取等號，
∴$\frac{16}{9}≤S＜2$．
綜上，$\frac{16}{9}≤S≤2$．
∴S的最大值為2，最小值為$\frac{16}{9}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最大值和最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式的合理運用．