Question

9．如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，PA=3，AC=4，∠ABC=90°，AB=BC．
（1）求點(diǎn)P到BC的距離；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離；
（3）求二面角P-BC-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可求點(diǎn)P到BC的距離；
（2）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離的定義即可求點(diǎn)A到平面PBC的距離；
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角即可求二面角P-BC-A的大小．

解答 解：（1）∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
∵AB∩PA=A，
∴BC⊥面PAB，
則BC⊥PB，
則PB是點(diǎn)P到BC的距離，
∵PA=3，AC=4，∠ABC=90°，AB=BC．
∴AB=BC=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
則PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{9+8}$=$\sqrt{17}$，
即點(diǎn)P到BC的距離是PB=$\sqrt{17}$，
（2）由（1）得平面PBC⊥面PAB，
過A作AE⊥PB，
則AE⊥面PBC，
則AE就是點(diǎn)A到平面PBC的距離；
∵$\frac{1}{2}$PA•AB=$\frac{1}{2}$PB•AE，
∴AE=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{3×2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
即點(diǎn)A到平面PBC的距離是$\frac{6\sqrt{34}}{17}$；
（3）由（1）知∵BC⊥面PAB，
∴BC⊥PB，BC⊥AB，
則∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，
∵PA=3，AB=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
則∠PBA=arctan$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
即二面角P-BC-A的大小是arctan$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間距離和空間角的求解，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以及點(diǎn)到平面的距離以及二面角的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．