Question

9．如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，PA=3，AC=4，∠ABC=90°，AB=BC．
（1）求點P到BC的距離；
（2）求點A到平面PBC的距離；
（3）求二面角P-BC-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點到直線的距離的定義即可求點P到BC的距離；
（2）根據(jù)點到平面的距離的定義即可求點A到平面PBC的距離；
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角即可求二面角P-BC-A的大小．

解答 解：（1）∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
∵AB∩PA=A，
∴BC⊥面PAB，
則BC⊥PB，
則PB是點P到BC的距離，
∵PA=3，AC=4，∠ABC=90°，AB=BC．
∴AB=BC=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
則PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{9+8}$=$\sqrt{17}$，
即點P到BC的距離是PB=$\sqrt{17}$，
（2）由（1）得平面PBC⊥面PAB，
過A作AE⊥PB，
則AE⊥面PBC，
則AE就是點A到平面PBC的距離；
∵$\frac{1}{2}$PA•AB=$\frac{1}{2}$PB•AE，
∴AE=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{3×2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
即點A到平面PBC的距離是$\frac{6\sqrt{34}}{17}$；
（3）由（1）知∵BC⊥面PAB，
∴BC⊥PB，BC⊥AB，
則∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，
∵PA=3，AB=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
則∠PBA=arctan$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
即二面角P-BC-A的大小是arctan$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查空間距離和空間角的求解，根據(jù)點到直線的距離以及點到平面的距離以及二面角的定義進行求解是解決本題的關(guān)鍵．