Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+2，其前n項(xiàng)和S_n，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）通過$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+2與$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n+1作差可知a_n=2ⁿ（n≥2），進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知，當(dāng)n≥2時(shí)S_n=2+2ⁿ⁺¹，進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否成立即可．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n+1，
兩式相減得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，即a_n=2ⁿ（n≥2），
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=3，a₁=6不滿足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，}&{n=1}\\{{2}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4+（2+2²+…+2ⁿ）=4+2•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2+2ⁿ⁺¹，
又∵S₁=a₁=6滿足上式，
∴S_n=2+2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．