Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{3}$，過點(diǎn)（-1，0）且斜率為1的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求弦|AB|的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）由點(diǎn)斜式得直線方程為y=x+1，設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為2x²+3x=0，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$．再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=1，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）由點(diǎn)斜式得直線方程為y=x+1，設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為2x²+3x=0，
由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$．
故中點(diǎn)橫坐標(biāo)x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3}{4}$，
代入直線方程可得中點(diǎn)縱坐標(biāo)y=$\frac{1}{4}$．
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（-\frac{3}{4}，\frac{1}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦的中點(diǎn)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．