Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{x}{3}$cos$\frac{x}{3}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)的角為B，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，解方程可得所求；
（Ⅱ）運(yùn)用三角形的余弦定理和基本不等式，可得$\frac{1}{2}$≤cosB＜1，即有0＜B≤$\frac{π}{3}$，運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1+cos\frac{2x}{3}）=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由$sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）$=0，即$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=kπ，可得x=$\frac{3kπ}{2}$-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即對(duì)稱中心為$（\frac{3k-1}{2}π，0），k∈Z$；
（Ⅱ）由已知b²=ac，可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{1}{2}$≤cosB＜1，可得0＜B≤$\frac{π}{3}$，即$\frac{π}{3}$＜$\frac{2}{3}$B+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{9}$，
由|$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{2}$|＞|$\frac{5π}{9}$-$\frac{π}{2}$|，可得sin$\frac{π}{3}$＜sin（$\frac{2B}{3}$+$\frac{π}{3}$）≤1，
則$\sqrt{3}$＜sin（$\frac{2B}{3}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即f（B）的范圍是$（\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時(shí)考查解三角形的余弦定理和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．