Question

4．已知互不相等的正數(shù)a，b，c，d，p，q滿足a，c，b，d成等差數(shù)列，a，p，b，q成等比數(shù)列，則（　　）

• A． c＜p，d＞q
• B． c＞p，d＞q
• C． c＞p，d＜q
• D． c＜p，d＜q

Answer 1

分析 設公差為n，公比為m，且n≠0、m＞0、m≠1，由等差、等比數(shù)列的通項公式分別求出c、b、d、p、q，建立n、m的關系式，利用作差法比較出c和p的大小，化簡d-q后構造函數(shù)f（m），求出此函數(shù)的導數(shù)，判斷出函數(shù)的單調性、求出最大值，即可判斷出d和q大小關系．

解答 解：設公差為n，公比為m，且n≠0、m＞0、m≠1，
則c=a+n、b=a+2n、d=a+3n，p=am、b=am²、q=am³，
所以a+2n=am²，得n=$\frac{1}{2}（a{m}^{2}-a）$，
所以c-p=a+n-am=a+$\frac{1}{2}（a{m}^{2}-a）$-am=$\frac{1}{2}a（{m}^{2}-2m+1）$=$\frac{1}{2}a（{m-1）}^{2}$＞0，
則c-p＞0，即c＞p，
d-q=a+3n-am³=a+$\frac{3}{2}（a{m}^{2}-a）$-am²=$\frac{3}{2}a（{-2m}^{3}+3{m}^{2}-1）$，
設f（m）=-2m³+3m²-1，則f′（m）=-6m²+6m，
因為m＞0、m≠1，所以當0＜m＜1時，f′（m）＞0，當m＞1時，f′（m）＜0，
所以函數(shù)f（m）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
則f（m） 的最大值是f（1）=0，即f（m）＜f（1）=0，
綜上可得，d-q＜0，則d＜q，
故選：C．

點評 本題考查了等差、等比數(shù)列的通項公式，導數(shù)與函數(shù)的單調性、最值的關系，以及作差法、構造函數(shù)法的綜合應用，考查化簡、變形能力．