Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點F₁，F(xiàn)₂距離之和為4$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，直線l與橢圓C交于A，B兩點．點P（2，1）為橢圓上一點，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓定義，橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為常數(shù)2a=$4\sqrt{2}$，得$a=2\sqrt{2}$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒c=\sqrt{6}$，于是$b=\sqrt{2}$，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為$y=\frac{1}{2}x+m$，把其與橢圓的方程聯(lián)立，求出弦長$|{AB}|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}×\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，即為
△PAB的底，由點線距離公式求出△PAB的高$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$，然后用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由條件得：$\left\{{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得$a=2\sqrt{2}，c=\sqrt{6}，b=\sqrt{2}$，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$
（2）設(shè)l的方程為$y=\frac{1}{2}x+m$，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+m\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$消去y得x²+2mx+2m²-4=0．
令△=4m²-8m²+16＞0，解得|m|＜2，由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=-2m，{x_1}{x_2}=2{m^2}-4$．
則由弦長公式得|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{（-2m）^{2}-4（2{m}^{2}-4）}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{4-{m}^{2}}$．
又點P到直線l的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}×\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}×\sqrt{5（4-{m^2}）}=\sqrt{{m^2}（4-{m^2}）}≤\frac{{{m^2}+4-{m^2}}}{2}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=2，即$m=±\sqrt{2}$時取得最大值．∴△PAB面積的最大值為2．

點評 本題考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；韋達(dá)定理、弦長公式及利用基本不等式求最值．考查分析問題解決問題到哪里．