Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁+a₂=16且S_n=2S_n-1+n+4（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=na_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．并判斷是否存在唯一且不等于1的n使T_n=22n-17成立？若存在求出n值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將S_n=2S_n-1+n+4中的n換成n-1，相減得，a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），求出a₁，a₂，得到{a_n+1}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而得到通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）求出b_n的通項(xiàng)公式，運(yùn)用分組求和和錯(cuò)位相減求和，設(shè)F_n=2+2×2²+..+n•2ⁿ，兩邊乘2，相減，即可得到求出F_n，從而解方程即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=2S_n-1+n+4，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，S_n-1=2S_n-2+n+3，
相減得，S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，
即a_n=2a_n-1+1，
從而a_n+1=2（a_n-1+1），
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=2S₁+6即a₂-a₁=6，
又a₁+a₂=16，
∴a₁=5，a₂=11，
即a₂+1=2（a₁+1），
∴n≥2有a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁=5，a₁+1=6，
∴{a_n+1}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
即a_n+1=6×2^n-1，
∴a_n=3×2ⁿ-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=n（3×2ⁿ-1），則
T_n=（3×2-1）+2×（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）=3×（2+2×2²+..+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）
設(shè)F_n=2+2×2²+..+n•2ⁿ，①
2F_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①得，F(xiàn)_n=--2-2²-2³-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=3F_n-（1+2+…+n）=6（n-1）•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$+6．
若T_n=22n-17，
即6（n-1）•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$+6=22n-17，
則6（n-1）•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$-22n+23=0，
設(shè)f（n）=6（n-1）•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$-22n+23
則f（1）=0，
f（2）=6×4-$\frac{2×3}{2}-$44+23=0，
則當(dāng)n≥3時(shí)，函數(shù)f（n）為遞增函數(shù)，
∴存在n=2使T_n=22n-17成立，此時(shí)n=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，同時(shí)考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，以及數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減，難度較大．