Question

14．函數(shù)f（x）=$\frac{cosx-2}{\sqrt{3-2cosx+sinx}}$的值域是$[-\sqrt{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{5}]$．

Answer 1

分析 首先利用換元法和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，進一步利用$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}\right|≤1$確定m的范圍，最后利用函數(shù)f（x）=-$\sqrt{\frac{2}{1+{m}^{2}}}$的單調(diào)性求出結(jié)果．

解答 解：f（x）=$\frac{cosx-2}{\sqrt{3-2cosx+sinx}}$
=-$\frac{2-cosx}{\sqrt{\frac{1}{2}（6-4cosx+2sinx）}}$
=-$\sqrt{\frac{（2-cosx）^{2}}{\frac{1}{2}（4-4cosx+{cos}^{2}x）+（1+2sinx+{sin}^{2}x）}}$
=-$\sqrt{\frac{2}{1+（\frac{1+sinx}{2-cosx}）^{2}}}$
設(shè)$\frac{1+sinx}{2-cosx}=m$，則：sinx+mcosx=2m-1，
所以：sin（x+φ）=$\frac{2m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
由于：$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}\right|≤1$
解得：$0≤m≤\frac{3}{4}$，
由于f（x）=-$\sqrt{\frac{2}{1+{m}^{2}}}$在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)．
所以函數(shù)的值域為：$[-\sqrt{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{5}]$．
故答案為：$[-\sqrt{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{5}]$

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形，換元的應(yīng)用，主要考察學(xué)生運算能力和恒等變換能力．