Question

3．如圖，某污水處理廠要在一個矩形ABCD的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（直角△EFG，E是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設(shè)計要求管道的接口E是AB的中點，F(xiàn)，G分別落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10$\sqrt{3}$m，設(shè)∠GEB=θ．
（1）試將污水管道的長度l表示成θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）當(dāng)管道長度l為何值時，污水凈化效果最好，并求此時管道的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意分別表示出EG，EF，F(xiàn)G，進(jìn)而表示出l的表達(dá)式．
（2）設(shè)sinθ+cosθ把l轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程，利用單調(diào)性確定最大值．

解答 （1）因為EG=$\frac{10}{cosθ}$，EF=$\frac{10}{sinθ}$，F(xiàn)G=$\frac{10}{sinθcosθ}$，
l=10（$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1}{sinθcosθ}$），θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

（2）l=$\frac{1+sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$•10
設(shè)t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]，
l=$\frac{2（t+1）}{{t}^{2}-1}$•10=$\frac{20}{t-1}$，為減函數(shù)，
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$時，有最大值20（$\sqrt{3}$+1），
答：當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$時，污水凈化效果最好，l最大值20（$\sqrt{3}$+1）m．

點評 本題主要考查了三角形問題的實際應(yīng)用．解題的重要的地方是建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．