【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)Px軸作垂線段,垂足為Q,點(diǎn)M是線段上的一點(diǎn),且滿足

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(2)設(shè)直線與軌跡c交于兩點(diǎn),TC上異于的任意一點(diǎn),直線,分別與直線交于兩點(diǎn),以為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

1)利用相關(guān)點(diǎn)法,設(shè)設(shè),則點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,從而得到,即.化簡求得結(jié)果;

2)設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),將直線與曲線的方程聯(lián)立,消元得到,根據(jù)韋達(dá)定理得到 =, =,設(shè)點(diǎn),寫出直線AT的方程,進(jìn)而求得點(diǎn)D的坐標(biāo),同理求得點(diǎn)E的坐標(biāo),如果以為直徑的圓過軸某一定點(diǎn),則滿足,利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.

(1)設(shè),,則點(diǎn)的坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>,

所以

,

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,

所以,即

所以點(diǎn)的軌跡的方程為

(2)解法1:設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ,,

由韋達(dá)定理得 = =

設(shè)點(diǎn),則

所以直線的方程為

,得點(diǎn)的坐標(biāo)為

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為

如果以為直徑的圓過軸某一定點(diǎn),則滿足

因?yàn)?/span>

所以

,解得

故以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)

解法2:直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,,

若取,則與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,,

所以以為直徑的圓的方程為

該圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

所以符合題意的定點(diǎn)只能是

設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ,

由韋達(dá)定理得

設(shè)點(diǎn),則

所以直線的方程為

,得點(diǎn)的坐標(biāo)為

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為

若點(diǎn)滿足要求,則滿足

因?yàn)?/span>

所以點(diǎn)滿足題意.

同理可證點(diǎn)也滿足題意.

故以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)

練習(xí)冊系列答案
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2)設(shè),求的值;

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B. 0不是的極值點(diǎn)

C. 上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

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【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù),如下表:

(年齡/歲)

26

27

39

41

49

53

56

58

60

61

(脂肪含量/%)

14.5

17.8

21.2

25.9

26.3

29.6

31.4

33.5

35.2

34.6

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖.

(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖:

(i)求;

(i)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫它們的相關(guān)程度.

(2)若關(guān)于的線性回歸方程為,求的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量.

附:參考數(shù)據(jù):img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2019/08/18/08/786210e5/SYS201908180802150104289801_ST/SYS201908180802150104289801_ST.007.png" width="51" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,,,,,

參考公式:相關(guān)系數(shù)

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.

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2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

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