Question

2．若橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則實數(shù)m的值是（　�。�

• A． 1
• B． 1或16
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 16

Answer 1

分析 根據(jù)題意，根據(jù)橢圓的焦點位置不同分2種情況討論，①、橢圓的焦點在x軸上，②、橢圓的焦點在y軸上；每種情況下由標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b的值，結(jié)合a、b、c的關(guān)系求出c的值，進而由離心率公式可得關(guān)于m的方程，解可得m的值，綜合兩種情況即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$，分2種情況討論：
①、橢圓的焦點在x軸上，有a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{m}$，
則c=$\sqrt{4-m}$，
其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-m}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解可得m=1，
②、橢圓的焦點在y軸上，有b=$\sqrt{4}$=2，a=$\sqrt{m}$，
則c=$\sqrt{m-4}$，
其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解可得m=16，
綜合可得m=1或16；
故選：B．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，注意需要對橢圓的焦點的位置進行分類討論，這是本題的易錯點．