Question

7．已知圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖過(guò)點(diǎn)M（-2，0）作直線l與圓相切于點(diǎn)N，設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，求三角形△NF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)圓O與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)可知b=r=1，進(jìn)而利用離心率及a、b、c三者之間的關(guān)系計(jì)算可知a=$\sqrt{2}$、c=1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)連結(jié)ON，在Rt△ONM中利用勾股定理可知MN=$\sqrt{3}$，利用三角形面積的不同計(jì)算方法可知點(diǎn)N到F₁F₂的距離h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵圓O與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴b=r=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c²=a²-b²，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）連結(jié)ON，則在Rt△ONM中，OM=2，ON=1，MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵S_△OMN=$\frac{1}{2}$ON•OM=$\frac{1}{2}$OM•h，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即點(diǎn)N到F₁F₂的距離h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵F₁F₂=2c=2，
∴${S}_{△N{F}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．