Question

6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N₊）

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意解題步驟，特別是n=k+1時(shí)，運(yùn)用假設(shè)n=k的結(jié)論，結(jié)合放縮法，即可得證．

解答 證明：當(dāng)n=1時(shí)，1＞$\frac{1}{2}$顯然成立，
假設(shè)n=k時(shí)，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＞$\frac{k}{2}$（k∈N₊）
當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
＞$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$•2^k=$\frac{k+1}{2}$，
即有當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k+1}{2}$成立，
綜上可得，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N₊）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法，考查推理能力，屬于中檔題．