Question

13．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{{2{x^2}}}（a＞0）$．
（1）試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，e²]上的最小值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：由已知得f（x）得的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{3}}$，
（1）∵a＞0，∴-a＜0，
當x∈（0，a）時，f（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f（x）＞0，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（2）由（1）得：
①0＜a≤1時，f（x）在在[1，e²]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{2}$=2，得a=2（舍），
②當1＜a＜e²時，f（x）在（1，a）遞減，在（a，e²）遞增，
∴f（x）_min=f（a）=lna+$\frac{1}{2}$=2，解得：a=${e}^{\frac{3}{2}}$，
③當a≥e²時，f（x）在[1，e²]遞減，
∴f（x）_min=f（e²）=2+$\frac{{a}^{2}}{{2e}^{2}}$=2，無解，
綜上：a=${e}^{\frac{3}{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．