Question

20．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且$\frac{cosC}{cosA}=\frac{2b-c}{a}$．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=3，求△ABC的周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinB=2sinBcosA，sinB≠0，解得：$cosA=\frac{1}{2}$，又結(jié)合范圍A∈（0，π），即可求A的值；
（2）由（1）及正弦定理可解得：$2R=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{3}$，從而化簡(jiǎn)a+b+c=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，結(jié)合B的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\frac{cosC}{cosA}=\frac{2b-c}{a}$，
∴acosC=2bcosA-ccosA，
∴acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=2sinBcosA，sinB≠0，
∴解得：$cosA=\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），
所以A=$\frac{π}{3}$．….5分
（2）∵由（1）及正弦定理可解得：$2R=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{3}$，
$\begin{array}{l}∴a+b+c=2\sqrt{3}（sinB+sinC）+3=2\sqrt{3}（sinB+sin（B+\frac{π}{3}））+3\\=2\sqrt{3}（\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB）+3=6（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）+3\\=6sin（B+\frac{π}{6}）+3（B∈（0，\frac{2π}{3}））\end{array}$…10分
所以當(dāng)$B=\frac{π}{3}$時(shí)，周長(zhǎng)最大為9．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．