Question

【題目】對給定的d∈N*，記由數列構成的集合．

（1）若數列{an}∈Ω（2），寫出a3的所有可能取值；

（2）對于集合Ω（d），若d≥2．求證：存在整數k，使得對Ω（d）中的任意數列{an}，整數k不是數列{an}中的項；

（3）已知數列{an}，{bn}∈Ω（d），記{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn．若|an+1|≤|bn+1|，求證：An≤Bn．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）推導出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先應用數學歸納法證明數列，則具有，（）的形式，由此能證明取整數，則整數均不是數列中的項；（3）由，得：，從而，由此利用累加法得，從而，同理，由此能證明．

（1）由于數列{an}∈Ω（2），即d=2，a1=1．

由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，

|a3|=|a2+d|=|a2+2|，

將a2=±3代入得a3的所有可能取值為-5，-1，1，5．

證明：（2）先應用數學歸納法證明數列：

若{an}∈Ω（d），則an具有md±1，（m∈Z）的形式．

①當n=1時，a1=0d+1，因此n=1時結論成立．

②假設當n=k（k∈N*）時結論成立，即存在整數m0，使得ak=m0d0±1成立．

當n=k+1時，|an+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，

ak+1=（m0+1）d±1，或ak+1=-（m0+1）±1，

所以當n=k+1時結論也成立．

由①②可知，若數列{an}∈Ω（d）對任意n∈N*，an具有md±1（m∈Z）的形式．

由于an具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得an不是d的整數倍．

故取整數k=d，則整數k均不是數列{an}中的項

（3）由|an+1|=|an+d|，可得：=，

所以有=+2and+d2，

=+2an-1d+d2，

，

…

=，

以上各式相加可得，

即An=-，同理Bn=-，

當時，有，

∵d∈N*，∴≤，

∴≤-，

∴