Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=10，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n-1}}，n=2k}\\{-1+lo{g}_{2}{a}_{n-1}，n=2k+1}\end{array}\right.$（n∈N^*），其前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）寫出a₃，a₄；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用分段數(shù)列，先求a₂，再去a₃，a₄；
（Ⅱ）討論當(dāng)n為奇數(shù)時，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)n為偶數(shù)時，運(yùn)用奇數(shù)的結(jié)論，即可得到通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）分析奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性，可得到S_n取最大值時n為偶數(shù)．再由a_2k+a_2k-1≥0（k∈N^*），求得k的最大值，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍₁=10，
所以a₂=${2}^{{a}_{1}}$=2¹⁰，
a₃=-1+log₂a₂=-1+log₂2¹⁰=9，
a₄=2⁹．                                           
（Ⅱ）當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=-1+log₂a_n-1=-1+log₂${2}^{{a}_{n-2}}$=a_n-2-1，
即a_n-a_n-2=-1．
所以{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)成首項(xiàng)為a₁=10，公差為-1的等差數(shù)列．
所以當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=a₁+（$\frac{n-1}{2}$）•（-1）=$\frac{21-n}{2}$
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=${2}^{{a}_{n-1}}$=${2}^{\frac{21-（n-1）}{2}}$=${2}^{11-\frac{n}{2}}$
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{11-\frac{n}{2}}，n=2k}\\{\frac{21-n}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*），
（Ⅲ）因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)a_n=${2}^{11-\frac{n}{2}}$＞0，奇數(shù)項(xiàng)a_n=$\frac{21-n}{2}$為遞減數(shù)列，
所以S_n取最大值時n為偶數(shù)．
令a_2k+a_2k-1≥0（k∈N^*），即2^11-k+$\frac{21-2k+1}{2}$≥0．
所以2^11-k≥k-11．
得k≤11．
所以S_n的最大值為S₂₂=（2¹⁰+2⁹+…+2¹+2⁰）+（10+9+…+0）
=$\frac{1-{2}^{11}}{1-2}$+$\frac{1}{2}×$（1+10）×10=2102．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．