Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，其中$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，1），$\overrightarrow$=（cosx，2），求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的最值和周期，即可得到所求．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，1），$\overrightarrow$=（cosx，2），
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosx（sinx+cosx）+2
=sinxcosx+cos²x+2=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+2
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{5}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{5}{2}$．
則當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z時(shí)，
f（x）取得最大值$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$；
最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時(shí)考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，注意運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，運(yùn)用正弦函數(shù)的最值和周期公式是解題的關(guān)鍵．