Question

15．如圖，已知⊙O的直徑AB=3，點(diǎn)C為⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，VC⊥平面ABC，且VC=2，點(diǎn)M為線段VB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面VAC；
（2）若直線AM與平面VAC所成角為$\frac{π}{4}$，求三棱錐B-ACM的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明BC⊥平面VAC；
（2）根據(jù)線面所成角的大小確定三棱錐的邊長關(guān)系，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 （1）證明：因?yàn)閂C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VC⊥BC，
又因?yàn)辄c(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且AB為直徑，所以AC⊥BC，
又因?yàn)閂C，AC?平面VAC，VC∩AC=C，
所以BC⊥平面VAC．…（4分）
（2）如圖，取VC的中點(diǎn)N，連接MN，AN，則MN∥BC，
由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，
則∠MAN為直線AM與平面VAC所成的角．
即∠MAN=$\frac{π}{4}$，所以MN=AN；…（6分）
令A(yù)C=a，則BC=$\sqrt{9-{a^2}}$，MN=$\frac{{\sqrt{9-{a^2}}}}{2}$；
因?yàn)閂C=2，M為VC中點(diǎn)，
所以AN=$\sqrt{{a^2}+1}$，所以，$\frac{{\sqrt{9-{a^2}}}}{2}$=$\sqrt{{a^2}+1}$，解得a=1…（10分）
因?yàn)镸N∥BC，
所以$V_{B-ACM}=V_{M-ABC}=V_{N-ABC}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•NC=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱錐的體積的計(jì)算，考查學(xué)生的推理能力．