Question

5．知函數(shù)f（x）=e^x-ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)與x軸沒有交點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{1}{e}$，e）
• B． （-$\frac{1}{e}$，e）
• C． （-$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 化簡可得函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)沒有交點(diǎn)，從而利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x-ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)與x軸沒有交點(diǎn)，
∴函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)沒有交點(diǎn)，
作函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)的圖象如右圖，
當(dāng)直線y=ax過點(diǎn)B（-1，$\frac{1}{e}$）時，a=-$\frac{1}{e}$；
當(dāng)直線y=ax與y=e^x相切時，設(shè)切點(diǎn)為A（x，e^x），
故e^x=$\frac{{e}^{x}}{x}$，解得，x=1；
故點(diǎn)A（1，e），
故a=e；
故實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{e}$，e），
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．