Question

17．在直角坐標系xOy中，射線OM的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數，t≥0），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求射線OM的極坐標方程；
（Ⅱ）已知直線l的極坐標方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$，射線OM與曲線C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）射線OM的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數，t≥0），化為普通方程：y=$\sqrt{3}$x，可知：射線OM與x軸的正半軸成60°的角，即可得出射線OM的極坐標方程．
（II）設P（ρ₁，θ₁），聯立$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得P的極坐標．同理可得Q的極坐標，即可得出．

解答 解：（I）射線OM的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數，t≥0），化為普通方程：y=$\sqrt{3}$x，可知：射線OM與x軸的正半軸成60°的角，
可得：射線OM的極坐標方程為：$θ=\frac{π}{3}$．
（II）設P（ρ₁，θ₁），由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=1}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．
設Q（ρ₂，θ₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（si{n}_{{θ}_{2}}+\sqrt{3}cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}=3}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．
∴θ₁=θ₂，|PQ|=ρ₂-ρ₁=2．

點評 本題考查了極坐標方程方程的應用、曲線的交點、參數方程化為普通房方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．