Question

5．定義max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a-b}\end{array}\right.$，若實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$，則max{|2x+1|，|x-2y+5|}的最小值為2．

Answer 1

分析 分析可得當(dāng)x，y滿足①當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x≤1，-1≤y≤1時(shí)，②當(dāng)-1≤x＜-$\frac{1}{2}$，-1≤y≤1時(shí)，從而化簡(jiǎn)max{|2x+1|，|x-2y+5|}=5+x-2y，作出可行域，平移直線l₀：x-2y=0，從而求最小值．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$時(shí)，
可得①當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x≤1，-1≤y≤1時(shí)，
0≤2x+1≤3，$\frac{5}{2}$≤x-2y+5≤8，
則max{|2x+1|，|x-2y+5|}=max{2x+1，x-2y+5}，
由x-2y+5-（2x+1）=-x-2y+4∈[1，$\frac{11}{2}$]，
即有max{|2x+1|，|x-2y+5|}=x-2y+5；
②當(dāng)-1≤x＜-$\frac{1}{2}$，-1≤y≤1時(shí)，
-1≤2x+1＜0，2≤x-2y+5≤$\frac{13}{2}$，
顯然|2x+1|＜|x-2y+5|，
即有max{|2x+1|，|x-2y+5|}=x-2y+5．
綜上可得max{|2x+1|，|x-2y+5|}=5+x-2y，
作出x，y滿足的可行域，如圖．
畫出直線l₀：x-2y=0，
平移l₀，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，1）時(shí)，取得最小值．
故當(dāng)x=-1，y=1時(shí)，
5+x-2y有最小值2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)及分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．