Question

6．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2$\sqrt{3}$，∠ACB=30°．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點D，連接PD、BD，利用三線合一得出PD⊥AC，BD⊥AC，于是AC⊥平面PBD，從而得出AC⊥PB；
（2）計算AC，PD從而得出PB=PD，求出△PBD的面積，則V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△PBD•AC．

解答 證明：（1）取AC的中點D，連接PD、BD．
∵AB=BC，PA=AC，D為AC的中點，
∴PD⊥AC，BD⊥AC，
又BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD．
∵PB?平面PBD，
∴AC⊥PB．
（2）AB=BC=2$\sqrt{3}$，∠ACB=30°．
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=3．
∴PD=$\sqrt{P{A}^{2}-A{D}^{2}}$=4，又PB=4，
∴△PBD是等腰三角形，作PB⊥BD于O，則O為BD的中點，
∴PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$．
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}BD•PO$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{61}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{183}}{4}$．
∴V_P-ABC=V_A-PBD+V_C-PBD=$\frac{1}{3}$S_△PBD•（AD+CD）=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{183}}{4}×6$=$\frac{\sqrt{183}}{2}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．