Question

12．已知函數(shù)f（x）=xlnx與直線y=m交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（1）求m的取值范圍；
（2）求證：0＜x₁x₂＜$\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其最值，從而求出m的范圍；
（2）先求出x₁，x₂的范圍，問題轉(zhuǎn)化為證明lnx₁+lnx₂＜-2，令H（x）=lnx₁+lnx₂，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，f（1）=0，
x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f（x）＜0，
畫出函數(shù)圖象，如圖示：
∴-$\frac{1}{e}$＜m＜0；
（2）∵x₁lnx₁=x₂lnx₂，設(shè)x₁＜x₂，
則0＜x₁＜$\frac{1}{e}$，x₂＞$\frac{1}{e}$，
要證明x₁x₂＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，只需證明lnx₁+lnx₂＜-2，
令H（x）=lnx₁+lnx₂=lnx₁+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$lnx₁=（1+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）lnx₁，
∵x₂＞$\frac{1}{e}$，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ex₁，
∴H（x）＜（1+ex₁）lnx₁，
令g（x）=（1+ex）lnx，（0＜x＜$\frac{1}{e}$），
則g′（x）=elnx+e+$\frac{1}{x}$，g″（x）=$\frac{ex-1}{{x}^{2}}$，
∵x＜$\frac{1}{e}$，∴ex-1＜0，
∴g″（x）＜0，g′（x）是減函數(shù)，
又g′（$\frac{1}{e}$）=e，∴g′（x）＞g′（$\frac{1}{e}$），g′（x）＞0，
∴g（x）是增函數(shù)，又g（$\frac{1}{e}$）=-2，
∴g（x）＜g（$\frac{1}{e}$）=-2，
∴H（x）＜-2，
∴0＜x₁x₂＜$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．