Question

1．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}$=2．
（1）求ab的最小值；
（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相應的取值．

Answer 1

分析 （1）運用基本不等式m+n≥2$\sqrt{mn}$（m，n＞0），當且僅當m=n取得等號，計算即可得到最小值；
（2）運用乘1法和基本不等式即可得到最小值，注意等號成立的條件．

解答 解：（1）由a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}$=2，
可得2=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，
即ab≥2，當且僅當b=2a=2時取得等號，
 則ab的最小值為2；                                                           
（2）a+2b=$\frac{1}{2}$（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$）=$\frac{9}{2}$；
等號成立的充要條件是a=b=$\frac{3}{2}$，
∴a+2b的最小值為$\frac{9}{2}$；此時a=b=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意滿足的條件：一正二定三等，同時注意運用乘1法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．